股票问题通用解法

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本文设计到六道股票问题的求解方法

简单来说，这六道股票问题的本质都是一样的，但是复杂度有所不同，解决方法都是动态规划！！！

首先看第一道题

买卖股票的最佳时机

难度 简单

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。

如果你最多只允许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票一次），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

注意：你不能在买入股票前卖出股票。

示例 1:

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格。

示例 2:

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

暴力法

理解起来很简单，就是暴力搜索所有的买卖可能，自然复杂度也高达O(n^2)。

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# 此方法会超时
class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        ans = 0
        for i in range(len(prices)):
            for j in range(i + 1, len(prices)):
                ans = max(ans, prices[j] - prices[i])
        return ans

一次遍历

在遍历的过程中，我们记录minprice即历史最低价，记录maxprofit即最大利润。每一天我们都用这样的方式来更新历史最低价：更新最大利润：将最大利润与price - minprice比较，记录更大的那个。最后我们输出最大利润便可。

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class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        inf = int(1e9)
        minprice = inf
        maxprofit = 0
        for price in prices:
            maxprofit = max(price - minprice, maxprofit) #这是dp方程
            minprice = min(price, minprice)
        return maxprofit

买卖股票的最佳时机 II

难度 简单

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 7
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。

示例 2:

输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3:

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

提示：

1 <= prices.length <= 3 * 10 ^ 4
0 <= prices[i] <= 10 ^ 4

一次遍历

可以多次购买，即每天可能较前一天所获得的利润相加。

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class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        if not prices:return 0
        count = 0
        
        for i in range(1,len(prices)):
            if prices[i] > prices[i-1]:
                count = count + prices[i] - prices[i-1]
                
        return count

123. 买卖股票的最佳时机 III

难度 困难

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出: 6
解释: 在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2:

输入: [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3:

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

这是一道困难等级的题，相比前两题有很大的难度提升。

暴力法(不通过)

很容易想到求出收益第一高和第二高的两次买卖，然后加起来。对于普通的情况是可以解决的，但是对于下边的情况
1 5 2 8 3 10
第一天买第二天卖，第三天买第四天卖，第五天买第六天卖，三次收益分别是 4，6，7，最高的两次就是 6 + 7 = 13 了，但是我们第二天其实可以不卖出，第四天再卖出，那么收益是 8 - 1 = 7，再加上第五天买入第六天卖出的收益就是 7 + 7 = 14了。

参考windliang

二维动态规划

动态规划最关键是动态规划数组和状态转移方程。

动态规划数组

按照最简单的动态规划思想：用 dp[i]表示前i天的最高收益，那么 dp[i] 怎么根据 dp[i-n] 求出来呢？

这里的dp[i]和当前的交易次数相关，对于这样有两个与结果相关的变量的动态规划问题，一般会使用二维动态规划数组。

用 dp[i][k] 表示前i天最多交易k次的最高收益，那么 dp[i][k] 怎么通过之前的解求出来呢？

dp[i][k] = Max(dp[i-1][k],prices[i] - prices[j] + dp[j][k-1])，j 取 0 - i

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public int maxProfit(int[] prices) {
    if (prices.length == 0) {
        return 0;
    } 
    int dp1 = 0;
    int dp2 = 0;
    int min1 = prices[0];
    int min2 = prices[0];
    for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            min1 = Math.min(prices[i] - 0, min1);
            dp1 = Math.max(dp1, prices[i] - min1);

            min2 = Math.min(prices[i] - dp1, min2);
            dp2 = Math.max(dp2, prices[i] - min2);
    }
    return dp2;
}

买卖股票的最佳时机 IV

难度困难

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。

注意: 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: [2,4,1], k = 2
输出: 2
解释: 在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

示例 2:

输入: [3,2,6,5,0,3], k = 2
输出: 7
解释: 在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

二维动态规划

有了上一题的基础，这道题的解答比较简单。